ΓΡΙΦΟΣ: Στο γυμναστήριο

Ο 1ος ανοίγει όλα τα ντουλάπια. Ο 2ος κλείνει όλα τα ντουλάπια που τα νούμερά τους είναι πολλαπλάσια του 2. Ο 3ος ανοίγει όλα εκείνα τα κλειστά ντουλάπια και κλείνει όλα εκείνα τα ανοικτά που οι αριθμοί τους είναι πολλαπλάσια του 3. Ο 4ος ανοίγει όλα εκείνα τα κλειστά ντουλάπια και κλείνει όλα εκείνα τα ανοικτά που οι αριθμοί τους είναι πολλαπλάσια του 4 , κ.ο.κ. Η διαδικασία συνεχίζεται με όμοιο τρόπο μέχρι που να περάσει και ο 100ος άνθρωπος. Βρείτε ποια ντουλάπια θα μείνουν στο τέλος ανοικτά.

ΛΥΣH:

Κάθε αριθμός διαιρείται με τον εαυτό του και το ένα. Άρα κάθε ντουλάπι ανοίγει στο πρώτο πέρασμα και κλείνει όταν περνά εκείνος που ο αριθμός του είναι ίδιος με αυτόν του ντουλαπιού.

Επιπροσθέτως όλοι οι αριθμοί (ντουλάπια) εκτός από τα τετράγωνα των αριθμών έχουν διαιρέτες σε ζευγάρια, έτσι κάθε ντουλάπι εκτός από εκείνα που ο αριθμός τους είναι μαθηματικό τετράγωνο έχουν αλλάξει κατάσταση ζυγές φορές (ανοικτό σε κλειστό ή αντίστροφα).

Μόνο τα τέλεια τετράγωνα των αριθμών έχουν διπλό ζευγάρι διαιρετών όπως 4x4=16, έτσι ώστε η κατάσταση εκείνων των ντουλαπιών έχει αλλάξει σε μονό αριθμό φορές, άρα παραμένουν ανοικτές.

Επομένως τα ντουλάπια που παραμένουν ανοικτά είναι τα:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.