ΓΡΙΦΟΣ: Στο γυμναστήριο

Σε ένα μεγάλο γυμναστήριο υπάρχουν 100 κλειστά ντουλάπια στη σειρά και αριθμημένα, το πρώτο με τον αριθμό 1, το δεύτερο με το 2... και το εκατοστό με το 100. Περνάνε με τη σειρά τους 100 άνθρωποι μπροστά από τα ντουλάπια και κάνουν τα εξής:

Newsbomb

FUN TIME
1'

Ο 1ος ανοίγει όλα τα ντουλάπια. Ο 2ος κλείνει όλα τα ντουλάπια που τα νούμερά τους είναι πολλαπλάσια του 2. Ο 3ος ανοίγει όλα εκείνα τα κλειστά ντουλάπια και κλείνει όλα εκείνα τα ανοικτά που οι αριθμοί τους είναι πολλαπλάσια του 3. Ο 4ος ανοίγει όλα εκείνα τα κλειστά ντουλάπια και κλείνει όλα εκείνα τα ανοικτά που οι αριθμοί τους είναι πολλαπλάσια του 4 , κ.ο.κ. Η διαδικασία συνεχίζεται με όμοιο τρόπο μέχρι που να περάσει και ο 100ος άνθρωπος. Βρείτε ποια ντουλάπια θα μείνουν στο τέλος ανοικτά.

ΛΥΣH:

Κάθε αριθμός διαιρείται με τον εαυτό του και το ένα. Άρα κάθε ντουλάπι ανοίγει στο πρώτο πέρασμα και κλείνει όταν περνά εκείνος που ο αριθμός του είναι ίδιος με αυτόν του ντουλαπιού.

Επιπροσθέτως όλοι οι αριθμοί (ντουλάπια) εκτός από τα τετράγωνα των αριθμών έχουν διαιρέτες σε ζευγάρια, έτσι κάθε ντουλάπι εκτός από εκείνα που ο αριθμός τους είναι μαθηματικό τετράγωνο έχουν αλλάξει κατάσταση ζυγές φορές (ανοικτό σε κλειστό ή αντίστροφα).

Μόνο τα τέλεια τετράγωνα των αριθμών έχουν διπλό ζευγάρι διαιρετών όπως 4x4=16, έτσι ώστε η κατάσταση εκείνων των ντουλαπιών έχει αλλάξει σε μονό αριθμό φορές, άρα παραμένουν ανοικτές.

Επομένως τα ντουλάπια που παραμένουν ανοικτά είναι τα:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.